POSISI, KECEPATAN & PERCEPATAN

SEBELUM ANDA MEMASUKI PELAJARAN, ANDA HARUS TAHU TERLEBIH DAHULU KONSEP TURUNAN DAN INTEGRAL.

*TURUNAN.

  KITA TAHU BAHWA:  x¹ = x
                                             x⁰ = 1

  Turunan di bagi dua,yaitu TURUNAN I dan TURUNAN II.
  beda turunan I dgn turunan II,,trunan I hanya sekali di turunkan,,turunan II dua kali di turunkan

  -TURUNAN I.

   y= 3x² + 2x  + 3     ---------   3 berubah menjadi nol  krna 3 tidak memiliki variabel (x)   
   y= 2.3x^2-1 + 1.2x^1-1 + 0 ----   2  (2.3x^2-1) didapat dari pangkat x,,pangkat 2-1(2.3x^2-1) pangkt - 

   y= 6x¹ + 2x⁰ + 0                      x-1(sudah ketentuan) 
   y= 6x  +  2

 -TURUNAN II.

   y= 3x² + 2x  + 3    
   y= 2.3x^2-1 + 1.2x^1-1 + 0                                                                                                                                                           y= 6x¹ + 2x⁰ + 0                          --------------TURUNAN I
   y= 6x  +  2

   y= 6x + 2
   y= 1.6x^1-1 + 0                             -------------- TURUNAN II(karna dua kali di turunkan)
   y=6 + 0


 

*INTEGRAL.

lambang integral = /_x^x

y=  /₀¹ 3x2 + 2x + 3
y=  3  x²⁺¹ +  2  x¹⁺¹ + 3x -----  penyebut 2+1 (   3  x²⁺¹ ) di dapat dari pangkat x di tambah 1
     2+1         1+1                                                 ( 2+1      )  (pangkat  x ditambah 1 sdh ketntuan)
y= 3 x³ + 2 x² + 3x   *adapun pangkat x²⁺¹ di peroleh dari pangkat x di tambah 1(sudah                             
      3         2                ketentuan pangkat x di tambah 1)
y= x³ + x² + 3x         *adapun 3 berubah menjadi 3x,,,karna integral menambah( 3 menjadi    -                                 3x),,,sedangkan turunan mengurang(3 menjadi 0)

kita masukan integral x=1 dan x=0 ( /₀¹ )
y = (x³ + x² + 3x)¹ – (x³ + x² + 3x)⁰
y = (1³ + 1² + 3.1) – (0³ + 0² + 3.0) --------- x berubah menjadi 1
y = (1 + 1 + 3) – ( 0 )
y = 5 – 0
y = 5

 KITA MASUK PADA PELAJARAN

1. Posisi (r)                               r = 3t² + 5t – 3 ------ (2.3t^2-1 + 1.5t^1-1 - 0 = 6t + 5)
2. Kecepatan (v)     MISAL     v = 6t + 5 ------------ (1.6t^1-1 + 0 = 6)
3. Percepatan (a)                       a = 6

Pada saat ada soal:

konsep 1-diketahui posisi,yang ditanya kecepatan,,,maka gunakan rumus TURUNAN I
konsep 2-diketahui posisi,yang ditanya percepatan,,,maka gunakan rumus TURUNAN II
konsep 3-diketahui kecepatan,yang ditanya percepatan,,,maka gunakan rumus TURUNAN I
konsep 4-diketahui kecepatan,yang ditanya posisi,,,maka gunakan rumus INTEGRAL
konsep 5-diketahui percepatan,yang ditanya kecepatan,,,maka gunakan rumus INTEGRAL

*POSISI.

Posisi dilambangkan dengan (r)
satuan internasional r adalah METER
rumus perpindahan posisi : ^r =  r₂ – r₁
keterangan : ^r = perpindahan posisi
                   r₁ = posisi mula-mula
                   r₂ = posisi akhir

Contoh soal !
1.sebuah benda dinyatakan r = 4t³ + 3t² – 5t + 3...berapakah nilai r saat waktu 2 secon ?
diketahui : r = 4t³ + 3t² – 5t + 3
ditanya : r saat t = 2 secon ?
jawab :
karna yang di ketahui posisi dan di tanya posisi,,jadi tak perlu di turunkan atau di integral kan!!
r = 4t³ + 3t² – 5t + 3
* r saat t = 2 secon = 4t³ + 3t² – 5t + 3
                               = 4.2³ + 3.2² – 5.2 + 3
                               = 4.8 + 3.4 – 10 + 3
                               = 32 + 12 – 10 + 3
                               = 37 meter
2.Sebuah benda dinyatakan dalam r (posisi) = 3t² + 5t -3,,,,berapakah nilai r saat 2 secon,dan    saat 5 secon,,,serta berapa perpindahan r dari 2 secon ke 5 secon !
diketahui : r = 3t² + 5t -3
ditanya : A. r saat 2 secon ?
               B. r saat 5 secon ?
               C. perpindahan r dari 2 secon ke 5 secon ?
jawab :
A. r saat 2 secon : t₁ = 3t² + 5t -3
                                 = 3.2² + 5.2 -3
                                 = 12 + 10 – 3
                              t₁ = 19 meter
B. r saat 5 secon : t₂ = 3t² + 5t -3
                                 = 3.5² + 5.5 – 3
                                 = 75 + 25 – 3
                              t₂ = 97 meter
C. Perpindahan posisi: ^t = t₂ – t₁
                                       = 97 – 19  
                                       = 78 meter

*KECEPATAN

Kecepatan di lambangkan (v)
satuan dari kecepatan : m/s
rumus perpindahan kecepatan : ^v =  ^r = r₂ – r₁
                                                                    ^t     t₂ – t₁           
keterangan : : ^v = perpindahan kecepatan
                      ^t = perpindahan waktu
                        t₁ = waktu mula-mula
                        t₂ = waktu akhir 

  Contoh soal !
1.Diketahui kedudukan sebuah bola dinyatakan dengan persamaan r= 4t³-2t²+3t-4,,berapakah nilai kecepatan bola saat   t =2 second ??
diketahui : posisi (r= 4t³-2t²+3t-4)
ditanya : kecepatan (v) saat t (waktu) 2 secon ?
Jawab:
*kita gunakan konsep 1,,karna diketahui posisi,ditanya kecepatan..maka mengunakan rumus       TURUNAN I
r =  4t³ - 2t² + 3t – 4
    = 3.4t^3-1 – 2.2t^2-1 + 1.3t^1-1 – 0
    = 12t² – 4t¹ + 3t⁰ – 0
    = 12t² – 4t + 3 – 0
 yang ditanya kecepatan (V) saat 2 secon
V =  12t² – 4t + 3 – 0
    =  12.2² – 4.2 + 3  ------masukan t=2 secon,,,sehingga 12.2² – 4.2 + 3
    =  12.4 – 8 + 3
    =  48 – 8 + 3
V =  43 m/s

2. .Diketahui kedudukan sebuah bola dinyatakan dengan persamaan r = 4t³-2t²+3t-4,,berapa perpindahan kecepatan dari 1 secon ke 2 secon ?
diketahui : v = 4t³-2t²+3t-4
                    t₁ = 1 secon
                    t₂ = 2 secon
ditanya :  Perpindahan v dari 1 secon ke 2 secon ?
jawab :

karna r₂ serta r₁ belum diketahui,,,maka kita harus mencarinya dahulu!
^v =  ^r = r₂ – r₁
         ^t     t₂ – t₁           
. r₁ ------ t₁ = 1 secon : r₁ = 4t³ - 2t² + 3t - 4
                                            = 4.1³ – 2.1² + 3.1 -4
                                            = 4 – 2 + 3 – 4
                                        r₁ = 1 m/s
. r₂ ------ t₂ = 2 secon : r₂ = 4t³ - 2t² + 3t- 4
                                           = 4.2³ – 2.2² + 3.2 -4
                                           = 32 – 8 + 6 – 4
                                       r₂  = 26 m/s
*Perpindahan kecepatan :  ^v =  ^r = r₂ – r₁
                                                  ^t     t₂ – t₁     
                                                      = 26 - 1                                           
                                                           2-1
                                                      = 25 m/s

*PERCEPATAN
Percepatan di lambangkan (a)
satuan percepatan m/s²
rumus perpindahan kecepatan : ^a =  ^v = v₂ – v₁
                                                 ^t      t₂ – t₁                             
keterangan =  ^a = perpindahan percepatan
                     v₁ = kecepatan mula-mula
                     v₂ = kecepatan akhir

Contoh soal !
1.sebuah benda dinyatakan dengan v = 6t + 5,,,berapa nilai percepatan pada saat 3 secon ?
diketahui : v = 6t + 5
ditanya : percepatan saat 3 secon(a) ?
jawab:
karna diketahui kecepatan,,ditanya percepatan,,maka kita gunakan konsep 3..mengunakan rumus TURUNAN I
v = 6t + 5
    = 1.6t^1-1 + 0
    = 6
yang di tanya percepatan saat 3 secon ?
a saat t = 3 secon : a = 6 m/s²
mengapa tidak di kalikan dengan waktu(3 secon),karna 6 tidak memiliki variabel (t)

2. sebuah benda dinyatakan dengan v = 6t + 5,,berapa nilai perpindahan percepatan dari 2 secon ke 5 secon ?
diketahui : v = 6t + 5
ditanya : perpindahan percepatan dari 2 secon ke 5 secon ?
jawab :

karna v₂ dan v₁ belum diketahui,,makan kita harus mencari v₂ dan v₁ dahulu!
^a =  ^v = v₂ – v₁
         ^t      t₂ – t₁ 
.v₁------ t saat 2 secon : v₁ = 6t + 5
                                         = 6.2 + 5
                                     v₁ = 17 m/s
v₂------ t saat 5 secon : v₂ = 6t + 5
                                         = 6.5 + 5
                                     v₂ = 35 m/s
* perpindahan percepatan :
     ^a =  ^v = v₂ – v₁
               ^t      t₂ – t₁
                    = 35 - 17   
                        5 - 2   
                    = 6 m/s²

  = 6 m/s²
3.sebuah benda dinyatakan dengan r = 4t³ + 2t³ - 3t² – 4t,,,berapa nilai percepatan saat 3 secon?
diketahui : r = 4t³ + 2t³ - 3t² – 4t
ditanya : percepatan saat 3 secon ?
jawab :
karna diketahui posisi,ditanya percepatan,,maka kita gunakan konsep 2,,mengunakan rumus TURUNAN II
   r = 4t³ + 2t³ - 3t² – 4t
      = 3.4t^3-1 + 3.2t^3-1 – 2.3t^2-1 – 1.4t^1-1
(v) = 12t² + 6t² – 6t – 4       ---------------turunan I
      = 12t² + 6t² – 6t – 4      
      = 2.12t^2-1 + 2.6t^2-1 – 1.6t^1-1 – 0        
 (a) = 24t + 12t – 6   -------------------------turunan II
yang di tanya percepatan saat 3 secon.
a saat t 3 secon : a = 24t + 12t – 6  
                                  =  24.3 + 12.3 – 6
                                  = 72 + 36 – 6
                                  = 102 m/s²

 

VEKTOR

Vektor-------- xi + yj

r = xi + yj
|r|= /x² + x²                                        ----------- ( / ) adalah akar
   v = vxi + vyj                                                  ( ^ ) adalah delta
|v| = /vx² + vy²                     
a = axi + ayj
|a| = /ax² + ay²

Contoh soal !

1.Sebuah bwnda dinyatakan dengan r = (3t + 2)i + (5t² – 1)j .berapa nilai r saat 1 secon,dan saat 2 secon,,serta berapa nilai perpindahan r?
diketahui : r = (3t + 2)i + (5t² – 1)j
ditanya : r saat t=1 secon?
             r saat t=2 secon?
             nilai perpindahan r ?
jawab :

r = (3t + 2)i + (5t² – 1)j
* r saat t=1 secon : (3t + 2)i + (5t² – 1)j                 
                                 :  (3.1 + 2)i + (5.1² – 1)j      
                                 :  (3 + 2)i + (5 – 1)j
                                 :  5i + 4j
                            |r|: 5i + 4j
                                  : /5² + 4²
                                  : /25+16
                                  : /41
                             r₁  : 6,4031 meter
* r saat t=2 secon  : (3t + 2)i + (5t² – 1)j                 
                                 :  (3.2 + 2)i + (5.2² – 1)j      
                                 :  (6 + 2)i + (20 – 1)j
                                 :  8i + 19j
                           |r|: 8i + 19j
                                 : /8²+19²
                                 : /64+361
                                 : /425
                             r₂ : 20,6155 meter
^r = r₂ –r_{1  --------------}  ( ^ ) adalh delta
     = 20,6155 – 6,4031
     = 14,2124 meter

2.diketahui r = (3t³ + 2t² + t +1)i
    ditanya : A. r saat t=0 secon ?
                    B.  r saat t=2 secon ?
                    C.  ^v ?
                    D.  v saat t=0 secon ?
                    E.  v saat t=2 secon ?
                    F.  ^a ?
                    G.  a saat t=0 secon ?
                    H.  a saat t=2 secon ?

jawab:
A. r saat t=0 secon : (3t³ + 2t² + t +1)i
                                  : (3.0³ + 2.0² + 0 +1)i
                                  : (0 + 0 + 0 + 1)i
                                  : 1i meter
B. r saat t=2 secon : (3t³ + 2t² + t +1)i
                                  : (3.2³ + 2.2² + 2 +1)i
                                  : (24 + 8 + 2 + 1)i
                                  : 35i meter
C. ^v = ^r = r₂ – r₁
             ^t    t₂ – t₁           
                = 35i – 1i
                     2 -0          
                = 34i
                    2
                = 17i m/s
D. r = (3t³ + 2t² + t +1)i
      v = (9t² + 4t + 1 + 0)i   -------------------- INGAT RUMUS TURUNAN I
      v = (9t² + 4t + 1 )i
    * v saat t=0 secon : (9t² + 4t + 1 )i
                                     : (9.0² + 4.0 + 1 )i
                                     : (0 + 0 + 1)i
                                     : 1i m/s
E. v saat t=2 secon    : (9t² + 4t + 1 )i
                                     : (9.2² + 4.2 + 1 )i
                                     : (36 + 8 + 1)i
                                     : 45i m/s
F. ^a =  ^v = v₂ – v₁
             ^t      t₂ – t₁  
                 = 45i – 1i
                      2 - 0  
                     = 44i 
                         2            
                     = 22i m/s²
G. v = (9t² + 4t + 1 )i
     a = (18t + 4)i  ------------------------ INGAT RUMUS TURUNAN I
  * a saat t=0 secon : (18t + 4)i 
                                   : (18.0 + 4)i
                                   : 4i m/s²
H. a saat t=2 secon : (18 + 4)i
                                   : (18.2 + 4 )i
                                   : 40i m/s²

PENJELASAN INTEGRAL.

Rumus a ------ r = r₀ + / v.dt              keterangan :   / = integral         r = posisi           r₀ = posisi awal
Rumus b ------v = v₀ + / a.dt                                  v = kecepatan  v₀ = kecepatan awal 

Contoh soal !
1.kecepatan mula-mula sebuh benda v₀ = 2ti + 3j dan percepatan benda tersebut a = 4i.hitung v saat 3 secon !
diketahui : v₀ = 2ti + 3j     
                      a = 4i.
ditanya : v saat t=3 secon ?
jawab :
v = v₀ + / a.dt        ---------karna yg diketahui v₀ dan di tanya v,,,,sudah jelas kita gunakan rumus b
   = 2ti + 3j + / 4i.dt     ------- ( /4ti.dt = 4ti )
   = 2ti + 3j + 4ti                   (/ 4i.dt= 2t²i )------ mengapa demikian,,,,/4ti.dt  kita integral kan                       = 6ti + 3j                              4 t¹⁺¹ sehinga 4 t² = 2t².(ingat rumus intgral)
                                                   1+1                 2
v saat t=3 secon : 6ti + 3j     
                          : 6.3i + 3j
                          : 18i + 3j

2.kecepatan sebuah bola v = 4ti + 2tj,,,berapakh posisi bola tersebut saat 2 secon ?
diketahui :  v = 4ti + 2tj
ditanya : r saat t=2 secon ?
jawab :
r = r₀ + / v.dt
 karna r₀ belum diketahui,,,,,kita harus mencari r₀!!
r₀ = / 4ti + 2tj-----------kita integralkan
    = 2t²i + t²j  -------karna pd soal tidak diketahui berapa waktu r₀,,maka,,,waktu r₀ kita anggap 0 secon
    = 2.0²i + 0²2j
r₀ = 0i + 0j

* r = r₀ + / v.dt
     = 0i + 0j + / 4ti + 2tj
     = 0i +0j + 2t²i + t²j       kita jumblah kan variabel i dengan i,,,,,j dengan j
     = 2t²i + t²j 
yang ditanya r saat t=2 secon
r saat t=2 secon : 2t²i + t²j
                         : 2.2²i + 2²j
                         : 8i + 4j 

3.percepatan sebuah benda 2i + j..hitung berapa kecepatan benda tersebut saat 2 secon ?
diketahui : a = 2i +j
ditanya : v saat t=2 secon ?
jawab :
v = v₀ + / a.dt
karna v₀ blum diketahui,,,maka kita cari v₀ dahulu!!
v₀                      = / 2i + j.dt         ------------ ( / ) adalah integral                 
                         =  2ti + tj  --  -mengapa  /2i +j.dt  berubah menjadi 2ti + tj,,,,karna,,,,2i + j tidak     (v₀ t=0 secon)   =  2.0i + 0j      memiliki variabel t,sehingga hanya menambahkan t(2ti+tj)                v₀                       = 0i + 0j          adapun /2i +j.dx   maka brubah menjad 2xi + xj

v = v₀ + / a.dt
   = 0i + 0j + / 2i + j.dt
   = 0i + 0j + 2ti + tj
   = 2ti + tj
v saat t=2 secon : 2ti + tj
                              : 2.2i + 2j
                              : 4i + 2j         
                       |v| : /4² + 2²    ------------- ( / ) adalh akar
                              : /16 + 4
                              : / 20
                              : /4 . /5
                              : 2./5 m/s
Source : http://belajarmudahfisika.blogspot.com/